Question

Выберите правильные утверждения , с обяснениями.

Answer 1

Ответ:

Верные утверждения: 1 и 3.

Объяснение:

1.

Найдем внутренний угол правил правильного пятиугольника по формуле:

$\alpha =\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$

n = 5

$\angle ABC=\dfrac{180^\circ(5-2)}{5}=36^\circ\cdot 3=108^\circ$

Обозначим диагональ АС = d.

Из ΔАВС по теореме косинусов:

$d^2=a^2+a^2-2a\cdot a\cdot \cos\angle ABC$

$d^2=2a^2-2a^2\cdot \cos108^\circ$

$\cos108^\circ=\cos(180^\circ-72^\circ)=-cos72^\circ$

$d^2=2a^2(1+cos72^\circ)$

Формула понижения степени:

$\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha }{2}$

$d^2=2a^2\cdot 2\cos^{2}36^\circ$

$d^2=4a^2\cos^{2}36^\circ$

$\dfrac{d^2}{a^2}=4cos^236^\circ$

$\dfrac{d}{a}=2\cos36^\circ$

Первое утверждение верно.

2.

Диагонали пятиугольника являются биссектрисами его углов.

Неверно.

Две диагонали делят угол правильного пятиугольника на три равные части.

3.

В правильном пятиугольнике все диагонали равны между собой.

Верно, так как все 5 треугольников, образованных двумя сторонами пятиугольника и диагональю равны по двум сторонам и углу между ними:

ΔABC = ΔBCD = ΔCDE = ΔDEA = ΔEAB.