Question

Решите систему уравнений. $\left \{ {{x+y=\pi } \atop {cos x - cos y=1}} \right.$

Answer 1

$\begin{cases} x+y=\pi \\ \cos x-\cos y=1 \end{cases}$

Выразим из первого уравнения у:

$y=\pi-x$

Подставим во второе:

$\cos x-\cos (\pi-x)=1$

Воспользуемся формулой приведения:

$\cos x+\cos x=1$

$2\cos x=1$

$\cos x=\dfrac{1}{2}$

$x_1=\dfrac{\pi}{3} +2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow y_1=\pi-\left(\dfrac{\pi}{3} +2\pi n\right)=\pi-\dfrac{\pi}{3} -2\pi n=\dfrac{2\pi}{3} -2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

$x_2=-\dfrac{\pi}{3} +2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow y_2=\pi-\left(-\dfrac{\pi}{3} +2\pi n\right)=\pi+\dfrac{\pi}{3} -2\pi n=\dfrac{4\pi}{3} -2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\left(\dfrac{\pi}{3} +2\pi n;\ \dfrac{2\pi}{3} -2\pi n\right);\ \left(-\dfrac{\pi}{3} +2\pi n;\ \dfrac{4\pi}{3} -2\pi n\right),\ n\in\mathbb{Z}$