Question

Исследовать на сходимость ряд

Answer 1

Ответ:

Абсолютно сходится

Пошаговое объяснение:

Исследуем на сходимость ряд, состоящий из модулей слагаемых исходного ряда: $\sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{|arcctg(-1)^n|}{\sqrt{n(2+n^2)}} = \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{|(-1)^n arcctg1|}{\sqrt{n(2+n^2)}} = \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{arcctg1}{\sqrt{n(2+n^2)}} = \frac{\pi}{4}\sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{\sqrt{n(2+n^2)}}$

Будем использовать признак сравнения, а именно будем сравнивать этот ряд (с точностью до множителя перед знаком суммы) с $\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{1}{\sqrt{n^3}}$

Посчитаем предел отношения членов этих рядов:

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\sqrt{n(2+n^2)}} : \frac{1}{\sqrt{n^3}} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt{\frac{n^3}{2n+n^3}}=1$

Этот предел конечный и не равен 0, значит, ряды сходятся или расходятся одновременно. Так как второй ряд имеет вид $\sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n^{p}}$, где p>1, то он сходится, а значит сходится и исходный ряд, причем абсолютно.