Question

найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения второго порядка - x (y"+1)=-y'

Answer 1

Ответ:

$y=C_1\ln|x|-\frac{x^2}{4}+C_2$

Пошаговое объяснение:

$x(y''+1)=-y'$

Это уравнение допускает понижение порядка с помощью следующей замены: $y'=u$

$x(u'+1)=-u => xu'+x=-u => xu'+u=-x;$

Это неоднородное линейное уравнение. Его общее решение можно представить в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: $u=u_o+\bar u$

Рассмотрим однородное уравнение:

$xu'+u=0 => x\frac{du}{dx} = -u => \frac{du}{u}=-\frac{dx}{x} => \ln|u|=-\ln|x|+\ln|C|=>\ln|u|=\ln|\frac{C}{x}| => u_o=\frac{C}{x}$

Частное решение неоднородного уравнения имеет смысл искать в виде: $\bar u = Ax+B$:

$xA+Ax+B=-x => 2Ax+B=-x => A=-\frac{1}{2}, B=0 => \bar u = -\frac{x}{2}$

То есть общее решение есть: $u = \frac{C}{x} -\frac{x}{2}$

Возвращаемся к замене:

$y' = \frac{C}{x} - \frac{x}{2} => y=\int (\frac{C}{x}-\frac{x}{2})dx = C_1\ln|x|-\frac{x^2}{2} + C_2$