Question

В параллелограмме ABCD на сторонах AB и BC отложены отрезки AK=LC. Докажите, что точка E пересечения прямых AL и CK лежит на биссектрисе угла ADC.

Answer 1

Ответ:

Доказано. См ниже

Объяснение:

Продлим СК за точку К до пересечения с прямой AD в точке Т.

Обозначим KA=LC=a ,  КВ=b , BL=c.

Для доказательства используем теорему, если в треугольнике TCD выполняется соотношение CD/DT=CE/ET тогда DE  является биссетрисой угла D.

Рассмотрим треугольники КВС и КАТ.  Они подобны по 2-м углам.

Тогда КВ/KA=BC/AT => b/a =(a+c)/AT=> AT= a(a+c)/b     (1)

Рассмотрим треугольники ELC и EАТ.  Они подобны по 2-м углам.

=> CE/TE=LC/AT= a*b/(a*(a+c)) = b/(a+c)

Рассмотрим теперь отношения CD:DT

CD=a+b

DT=a+c+AT=(b(a+c)+a(a+c))/c = (a+b)(a+c)/b

CD:DT=(a+b): ((a+b)(a+c)/b)=b/(a+c)

Таким образом СЕ:ТЕ= CD:DT=b/(a+c) , что и  требовалось доказать.

Таким образом DO - биссектриса угла D