Question

Помогите срочно. Найти градиент функции z=x^2+y^2 в точке М(3;2).
Пожалуйста,полностью расписанное решение.Пожалуйста.

Answer 1

Градиентом функции $z=f(x;\ y)$ называется вектор вида:

$\mathrm{grad} z=\dfrac{\partial z}{\partial x} \vec{i}+\dfrac{\partial z}{\partial y} \vec{j}$

Для его получения найдем частные производные функции:

$\dfrac{\partial z}{\partial x} =(x^2+y^2)'_x=2x+0=2x$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} =(x^2+y^2)'_y=0+2y=2y$

Подставим в формулу градиента:

$\mathrm{grad} z=2x\vec{i}+2y \vec{j}$

Вычислим значение градиента в точке М, то есть при $x=3$ и $y=2$:

$(\mathrm{grad} z)_M=2\cdot3\vec{i}+2\cdot2 \vec{j}$

$(\mathrm{grad} z)_M=6\vec{i}+4 \vec{j}$

Ответ: $6\vec{i}+4 \vec{j}$