Question

найти производную функции (подробно) у=
1
---------
(1+3х)^4

Answer 1

Ответ:

$-\frac{12}{(1+3x)^5}.$

Объяснение:

Будем пользоваться двумя формулами:

а) $(\frac{f(x)}{g(x)})^\prime = \frac{f^\prime g - g^\prime f}{g^2}.$

b) $f(g(x))^\prime = g^{\prime}(x)f^{\prime}(g(x)).$

воспользуемся формулой а) для $f(x) = 1, g(x) = (1 + 3x)^4:$

$(\frac{1}{(1+3x)^4})^\prime =\frac{ 1^\prime (1+3x) - ((1 + 3x)^4)^\prime \cdot 1}{(1 + 3x)^8} =$

учитывая, что производная константы (т.е. 1) равна нулю:

$= \frac{ - ((1 + 3x)^4)^\prime}{(1 + 3x)^8} =$

Посчитаем $((1 + 3x)^4)^\prime$ по правилу b), если $f(x) = x^4, g(x) = 1 + 3x$:

$((1 + 3x)^4)^\prime = 3\cdot 4(1+3x)^3 = 12(1+3x)^3.$

Итого, получаем:

 $= \frac{-12(1 +3x)^3}{(1 + 3x)^8} = -\frac{12}{(1+3x)^5}.$