Question

Решить дифференциальное уравнение (2x+1)dx-6ydy=0 и найти его частное решение, удовлетворяющее условиям: при x=1 y=2.

Answer 1

Ответ:

$y=\sqrt{\frac{x^{2}+x+10 }{3} }$

Пошаговое объяснение:

$(2x+1)dx-6ydy=0$

$(2x+1)dx=6ydy$

$\int\limits{(2x+1)} \, dx=\int\limits{(6y)}\, dy$

$x^{2} +x+C_{1} =3y^{2}+C_{2}$

$3y^{2} =x^{2} +x+C_{1}-C_{2}$ ; $C_{1}-C_{2}=C$

$3y^{2} =x^{2} +x+C$

$y^{2} =\frac{x^{2} +x+C}{3}$

$\sqrt{y^{2}} =\sqrt{\frac{x^{2} +x+C}{3}}$

$|y| =\sqrt{\frac{x^{2} +x+C}{3}}$

Отсюда получаем два решения:

$y =\sqrt{\frac{x^{2} +x+C}{3}}}$

$y =-\sqrt{\frac{x^{2} +x+C}{3}}}$

Подставляем  в них $x=1$ и $y=2$  и решаем полученные уравнения относительно константы $C$:

$2=\sqrt{\frac{1^{2} +1+C}{3} }$

$2^{2} =\sqrt{\frac{1^{2} +1+C}{3} } ^{2}$

$4=\frac{2+C}{3}$

$12=2+C$

$C=10$ ; Тогда наша функция принимает вид:

$y=\sqrt{\frac{x^{2}+x+10 }{3} }$

Второе уравнение решений не имеет, поэтому ответ:

$y=\sqrt{\frac{x^{2}+x+10 }{3} }$