Question

Решите уравнение: 2Cos2x – Cos x -1=0.

Answer 1

2Cos2x – Cos x - 1 = 0

Представим Cos2x = cos²x - sin²x

Из основного тригонометрического тождества cos²x + sin²x = 1 выразим sin²x

sin²x = 1 -  cos²x

Получается cos²x - sin²x = cos²x - ( 1 -  cos²x) = cos²x - 1 + cos²x = 2 cos²x - 1

Подставляем в изначальное уравнение

2*(2 cos²x - 1) – Cos x - 1 = 0

4 cos²x - 2 – Cos x - 1 = 0

4 cos²x – Cos x - 3 = 0

Пусть cos x = t , тогда

4t² - t - 3 = 0

D = (-1)² - 4 * 4 * (-3) = 1 + 48 = 49 = 7²

$t_{1} = \frac{1+7}{2*4} = \frac{8}{8} = 1$

$t_{2} = \frac{1-7}{2*4} = - \frac{6}{8} = - \frac{3}{4}$

Вернёмся к замене:

cos x = 1

$x = 2\pi n$ , n∈Z

$cos x = - \frac{3}{4}$

x = ± arccos $(-\frac{3}{4})+2\pi k$ , k∈Z

Ответ: $x = 2\pi n$ , n∈Z ; x = ± arccos $(-\frac{3}{4})+2\pi k$ , k∈Z .