Question

Help please))) как это решать

Answer 1

Ответ:

$arccos\frac{14}{5\sqrt{53}}, arccos\frac{31}{\sqrt{3710}}$

Объяснение:

Угол между векторами определяется через их скалярное произведение:

$(\bar{p}, \bar{a}+\bar{b}) = |\bar{p}| \cdot |\bar{a}+\bar{b}| \cos \varphi_1, (\bar{p}, -(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c})) = |\bar{p}| \cdot |-(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c})| \cos \varphi_2$

Выражаем отсюда косинусы:

$\cos \varphi_1 = \frac{(\bar{p}, \bar{a}+\bar{b})}{|\bar{p}| \cdot |\bar{a}+\bar{b}|}, \cos \varphi_2 = -\frac{(\bar{p}, \bar{a}+\bar{b}+\bar{c})}{|\bar{p}| \cdot |\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|}$

Считаем скалярные произведения и модули:

$(\bar{p}, \bar{a}+\bar{b}) = (2\bar{a}+3\bar{b}-5\bar{c}, \bar{a} + \bar{b}) = 2(\bar{a},\bar{a}) + 2(\bar{a},\bar{b}) + 3(\bar{b},\bar{a}) + 3(\bar{b},\bar{b}) -5(\bar{c},\bar{a})-5(\bar{c},\bar{b}) = 2a^2 + 0 + 0 + 3b^2 - 0 - 0 = 2\cdot 1+3\cdot 4 = 2+12 = 14;$

(нулевые скалярные произведения в следствие перпендикулярности векторов). Аналогично:

$(\bar p, \bar a + \bar b + \bar c) = (2\bar a + 3\bar b - 5\bar c, \bar a + \bar b + \bar c) = 2a^2 + 3b^2 - 5c^2 = 2 + 12 - 45 = -31;$

$|\bar p| = \sqrt{(\bar p, \bar p)} = \sqrt{(2\bar a + 3\bar b - 5\bar c, 2\bar a + 3\bar b - 5\bar c)} = \sqrt{4a^2 + 9b^2 + 25c^2} = \sqrt{4+36+225} = \sqrt{265};$$|\bar a + \bar b| = \sqrt{(\bar a+\bar b, \bar a+\bar b)} = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1+4}=\sqrt{5};$

$|\bar a+\bar b+\bar c| = \sqrt{(\bar a+ \bar b + \bar c, \bar a + \bar b + \bar c)} = \sqrt{a^2+b^2+c^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$

Подставляем в косинусы:

$\cos\varphi_1 = \frac{14}{\sqrt{265}\sqrt{5}} = \frac{14}{5\sqrt{53}} =>\varphi_1 = arccos\frac{14}{5\sqrt{53}};$

$\cos\varphi_2 = -\frac{-31}{\sqrt{265}\sqrt{14}}= \frac{31}{\sqrt{3710}} => \varphi_2 = arccos\frac{31}{\sqrt{3710}}$