Question

Знайти точки екстремума функції

Answer 1

$y = 2x^{3} - 3x^{2}$

$y' = (2x^{3} - 3x^{2})' = 6x^{2} - 6x$

Необходимые условия экстремума:

$y' = 0$

$6x^{2} - 6x = 0$

$6x(x - 1) = 0$

$\left[\begin{array}{ccc}x_{1} = 0\\x_{2} = 1\\\end{array}\right$

Имеем две критические (стационарные) точки: $x_{1} = 0$ и $x_{2} = 1$

Достаточные условия экстремума: если при переходе через критическую точку производная непрерывной функции меняет знак на противоположный, то имеем экстремум функции в этой точке.

Если точка с абсциссой $x_{0}$ меняет знак с "+" на "–" (двигаясь в направлении увеличения $x$), то $x_{0}$  — точка максимума, а если с "–" на "+" , то $x_{0}$  — точка минимума.

Из промежутка $x \in (-\infty; \ 0)$ выберем, например, $x = -1$ и имеем: $y'(-1) = 6 \cdot (-1)^{2} - 6\cdot (-1) = 6 + 6 = 12 > 0$

Из промежутка $x \in (0; \ 1)$ выберем, например, $x = 0,5$ и имеем: $y'(0,5) = 6 \cdot (0,5)^{2} - 6\cdot 0,5 = 1,5 - 3 = -1,5 < 0$

Имеем максимум в точке с абсциссой $x_{\max} = 0$

Из промежутка $x \in (1; \ +\infty)$ выберем, например, $x = 2$ и имеем: $y'(2) = 6 \cdot 2^{2} - 6\cdot 2 = 24 - 12 = 12 > 0$

Имеем минимум в точке с абсциссой $x_{\min} = 1$

Ответ: $x_{\max} = 0, \ x_{\min} = 1$