Question

HELP! Исследовать сходимость числового ряда!

Answer 1

Ответ:

Ряд сходится, но не сходится абсолютно

Пошаговое объяснение:

Домножим каждый член ряда на 3, от этого сходимость не поменяется, так что с этого места считаем, что $a_n = \frac{(-1)^{n - 1}}{n}$.

Заметим, что ряд составленный из $|a_n| = \frac{1}{n}$ является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому ряд не сходится абсолютно. Чтобы доказать просто сходимость, разобьем слагаемые попарно:

$b_n = a_{2n - 1} + a_{2n}.$

Заметим, что

$b_n = a_{2n - 1} + a_{2n} = \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{2n(2n - 1)} \leq \frac{1}{4n^2}.$ Заметим, что ряд составленный из $b_n$ сходится, так как он составлен из положительных членов и мажорируется сходящимся рядом $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2}.$

Обозначим частичные суммы ряда $S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$.

Тогда в наших обозначения $S_{2n} = (a_1 + a_2) + ... + (a_{2n - 1} +a_{2n}) = b_1 + b_2 + ... b_n,$ а ряд из $b_n$ сходится, значит $S_{2n}$ имеет предел.  Обозначим этот предел за $a$. Для окончания доказательства, докажем что частичные суммы $S_{2n + 1}$ тоже сходятся к a.

$\lim S_{2n + 1} = \lim (S_{2n} + a_{2n + 1}) = \lim S_{2n} + \lim a_{2n + 1} = a + 0$, так как очевидно, что $\lim a_{n} = 0$. Итого, мы доказали, что у частичных сумм есть предел $a$, значит ряд сходится по определению