Question

Точки A2, B2, C2 — середины дуг BAC, ABC, ACB описанной окружности треугольника ABC соответственно. Известны углы треугольника ABC: ∠A=42∘, ∠B=74∘, ∠C=64∘. Найдите углы треугольника A2B2C2.

Answer 1

Рассмотрим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику A2B2C2 относительно центра описанной окружности. Фигуры, симметричные относительно точки, равны - углы треугольника A1B1C1 равны углам треугольника A2B2C2.

Вершины треугольников диаметрально противоположны, точки A1, C1, B1 - середины дуг CB, BA, AC.

∪C1A =∪BA/2 =C

∪AB1 =∪AC/2 =B

A1 =∪C1B1/2 =(∪C1A+∪AB1)/2 =(C+B)/2

Аналогично углы B1, C1.  

A2 =A1 =(C+B)/2 =(64+74)/2=69

B2 =B1 =(A+C)/2 =(42+64)/2=53

C2 =C1 =(A+B)/2 =(42+74)/2=58