Question

Помогите пожалуйста с 1-4

Answer 1

$1)\ \ \int\limits^{1/4}_0\dfrac{dx}{\sqrt{1-9x^2}}=\int\limits^{1/4}_0\dfrac{dx}{\sqrt{1-(3x)^2}}=\dfrac{1}{3}\cdot \int\limits^{1/4}_0\dfrac{d(3x)}{\sqrt{1-(3x)^2}}=\\\\\\=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot arcsin(3x)\Big|_0^{1/4}=\dfrac{1}{9}\cdot (arcsin\dfrac{3}{4}-arcsin0)=\dfrac{1}{9}\cdot arcsin\dfrac{3}{4}$

$2)\ \ \int\limits^6_2\, \sqrt{x-2}\, dx=\dfrac{(x-2)^{3/2}}{3/2}\Big|_2^6=\dfrac{2}{3}\cdot \Big(\sqrt{4^3}-0\Big)=\dfrac{2}{3}\cdot 2^3=\dfrac{16}{3}$

$3)\ \ \int\limits^{1/2}_0\, \dfrac{arctg2x}{1+4x^2}\, dx=\dfrac{1}{2}\cdot \int\limits^{1/2}_0\, arctg2x\cdot d(arctg2x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{arctg^22x}{2}\Big|_0^{1/2}=\\\\=\dfrac{1}{4}\cdot \Big(arctg^21-arctg^20\Big)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{\pi ^2}{16}=\dfrac{\pi ^2}{64}$

$4)\ \ \int\limits^5_2\, e^{x^2-5}\cdot x\, dx=\dfrac{1}{2}\cdot \int\limits^5_2\, e^{x^2-5}\, d(x^2-5)=\dfrac{1}{2}\cdot e^{x^2-5}\, \Big|_2^5=\dfrac{1}{2}\cdot (e^{20}-e^{-1})$

$5)\ \ \int\limits^{2\pi }_{\pi }\, x^2\cdot cosx\, dx=\Big[\ u=x^2\ ,\ du=2x\, dx\ ,\ dv=cosx\, dx\ ,\ v=sinx\ \Big]=\\\\\\=x^2\cdot sinx\Big|_{\pi }^{2\pi }-2\int \limits _{\pi }^{2\pi }x\cdot sinx\, dx=4\pi ^2\cdot 0-\pi ^2\cdot 0-2\int \limits _{\pi }^{2\pi }x\cdot sinx\, dx=\\\\\\=\Big[\ u=x\ ,\ du=dx\ ,\ dv=sinx\, dx\ ,\ v=-cosx\ \Big]=\\\\\\=-2\cdot \Big(-x\cdot cosx\Big|_{\pi }^{2\pi }+\int \limits _{\pi }^{2\pi }cosx\, dx\Big)=-2\cdot \Big(-2\pi -\pi +sinx\Big|_{\pi }^{2\pi }\Big)=6\pi$