Question

Помогите доказать, что $145^{3} -2^{12} +12052014$ делится на 3, не вычисляя на калькуляторе. Буду признателен!!

Answer 1

Доказательство:

145³ - 2¹² + 12052014 = 145³ - (2⁴)³ + 12052014 = 145³ - 16³ + 12052014 = (145-16)(145²+145·16+16²) + 12052014 = 129·(145²+145·16+16²) + 12052014.

Рассмотрим первое слагаемое:

129 кратно трём, так как 1+2+9 = 12 кратно 3, тогда и всё произведение 129·(145²+145·16+16²) кратно трём.

Рассмотрим второе слагаемое:

12052014 кратно трём, так как 1+2+0+5+2+0+1+4 = 15 кратно 3.

Так как каждое слагаемое суммы кратно трём, то и вся сумма кратна трём, что и требовалось доказать.

(В решении использована формула сокращённого умножения:

а³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²))