Question

Помогите с следующим дифференциальным уравнением t > 0 y"(t)+4y(t) = 8e^(2t) , y(0)= 0, y'(0)=3.

Answer 1

Ответ:

$y = \frac{1}{2}\sin2t -\cos2t+e^{2t}.$

Пошаговое объяснение:

Имеем дело с неоднородным линейным уравнением с постоянными коэффициентами. Стандартный прием: искомое решение представляется в виде суммы решения однородного уравнения и частного решения неоднородного: $y = y_o + \bar y$.

Однородное уравнение: $y'' + 4y = 0.$ Характеристическое уравнение имеет следующий вид: $k^2 + 4 = 0 => k_{1,2} = \pm 2i$. Тогда решение однородного уравнение можно записать в виде: $y_o = C_1 \sin 2t + C_2 \cos 2t.$

Так как в правой части исходного уравнения перед экспонентой стоит многочлен нулевой степени, а коэффициент в показателе экспоненты не совпадает с каким-либо корнем характеристического уравнения, то частное решение можно искать в виде: $\bar y = Ae^{2t},$ подставим его в исходное уравнение и найдем коэффициент $A$:

$A\cdot 4e^{2t} + 4Ae^{2t} = 8e^{2t} => 8Ae^{2t}=8e^{2t} => A = 1 => \bar y = e^{2t}.$

Значит, общее решение исходного уравнения есть

$y = C_1 \sin2t + C_2\cos 2t + e^{2t}.$ Осталось определить коэффициенты для данной задачи Коши:

$y(0) = C_2 + 1 = 0;$

$y'(0) = 2C_1 + 2 = 3.$

Решая каждое из этих уравнений, находим: $C_1 = \frac{1}{2}, C_2 = -1.$ В итоге, получаем ответ:

$y = \frac{1}{2}\sin2t -\cos2t+e^{2t}.$