Question

помогите пожалуйста ​

Answer 1

Заметим во-первых, что $a=\sin 30^{\circ}<b=\sin 40^{\circ}<c=\sin 60^{\circ},$ то есть сторона c самая большая. Для того, чтобы доказать, что такой треугольник существует, достаточно проверить, что большая сторона меньше суммы двух остальных. Но это очевидно, поскольку

$a+b=\sin 30^{\circ}+\sin 40^{\circ}>2\sin 30^{\circ}>\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60^{\circ}=c.$

Для того, чтобы узнать, какой это треугольник - остроугольный, прямоугольный или тупоугольный, нужно исследовать больший угол треугольника. А как известно, против большей стороны лежит больший угол. Поэтому будем исследовать угол, лежащий против третьей стороны. Напишем теорему косинусов:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma;\ \cos \gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{\sin^230^{\circ}+\sin^240^{\circ}-\sin^260^{\circ}}{2ab}<$

$<\frac{\sin^230^{\circ}+\sin^245^{\circ}-\sin^260^{\circ}}{2ab}=\frac{(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}{2ab}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{4}-\frac{3}{4}}{2ab}=0.$

Итак, $\cos\gamma<0\Rightarrow \gamma>90^{\circ},$ то есть треугольник тупоугольный

Ответ: B

Замечание. Забавно, что если бы мы заменили в условии 40 градусов на 45, треугольник получился бы прямоугольным! Ещё раз: треугольник со сторонами sin 30°, sin 45°, sin 60° - прямоугольный.

Ну а в нашем случае он тупоугольный.