Question

найти общее решение y''+3y'+2y=2x^2e^-x

Answer 1

Ответ:

y = yoo + yr = С1*e^(-1) + C2*e^(-2) + (4x^4 * e^(-x)) / (4 + 4x)

Пошаговое объяснение:

Если Вы имеете в виду (2x^2) * e^(-x)

Характеристическое уравнение второго порядка

k^2 + 3k + 2 = 0

По Виета

k1 = -2  k2 = -1

Общее решение однородного: уоо = С1*e^(-1) + C2*e^(-2)

Частное решение неоднородного ищем в виде yr = A*2x^2 * e^(-x)

y'r = 4x * e^(-x)А - 2x^2 * e^(-x)А

y''r =  4* e^(-x)А - 4x * e^(-x)А - 4x * e^(-x)А + 2x^2 * e^(-x)А  = 4* e^(-x)А - 8x * e^(-x)А + 2x^2 * e^(-x)А

4* e^(-x)А - 8x * e^(-x)А + 2x^2 * e^(-x)А + 12x * e^(-x)А - 6x^2 * e^(-x) А + 4x^2 * e^(-x)А = 2x^2 * e^(-x)

4* e^(-x)А + 4x * e^(-x)А  = 2x^2 * e^(-x)   |: e^(-x)

4А + 4Ах = 2x^2

A = 2x^2 / (4 + 4x)

yr = 2x^2 / (4 + 4x) * 2x^2 * e^(-x) = (4x^4 * e^(-x)) / (4 + 4x)

y = yoo + yr = С1*e^(-1) + C2*e^(-2) + (4x^4 * e^(-x)) / (4 + 4x)