Question

Проверьте , что функция F(x) = 2√x является первообразной

Answer 1

Если  $F'(x)=f(x)$  , то функция   $F(x)$  является первообразной для функции  $f(x)$  .

$1)\ \ F(x)=2\sqrt{x}\ \ ,\ \ f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ \ б\ \ x\in (\ 0;+\infty )\\\\F'(x)=f(x)\\\\F'(x)=(2\sqrt{x})'=2\cdot (x^{1/2})'=2\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=f(x)\\\\\\2)\ \ F(x)=sinx-x\cdot cosx\ \ ,\ \ f(x)=x\cdot sinx\\\\F'(x)=f(x)\\\\F'(x)=(sinx-x\cdot cosx)'=cosx-(1\cdot cosx+x\cdot (-sinx))=\\\\=cosx-cosx+x\cdot sinx=f(x)$

$3)\ \ f(x)=2-x^3+\dfrac{1}{x^3}\\\\F(x)=\int f(x)\, dx=\int \Big(2-x^3+\dfrac{1}{x^3}\Big)\, dx=2x-\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{1}{2x^2}+C$