Question

Функции 40 Баллов
Для функции f(x) = 5x - 3x2 найдите первообразную, график которой проходит через точку М (-2; 10)

Answer 1

найдем первообразную F(x)=5x²/2-x³+c

10=5*4/2+8+c⇒c=-8

F(x)=5x²/2-x³-8

Answer 2

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$ (здесь $F(x)$ - сама первообразная функция, производная которой равна $f(x)$, а $C$ - константа, которую хорошо было бы найти):          

$\displaystyle F(x) \; = \; 5 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C \; = \; \frac {5x^2}{2} - x^3 + C$

Мы знаем, что график этой первообразной функции проходит через точку $\Big (-2 ; \; 10 \Big )$. Это означает, что если мы подставим в получившееся равенство $x=-2$, то получим $F(x)=10$. Этим и воспользуемся, для того, чтобы отыскать константу:

$\displaystyle F(x) = \frac{5x^2}{2} - x^3 + C \\\\10 = \frac{5 \cdot (-2)^2}{2} - (-2)^3 + C\\\\10=10 + 8 + C \\\\8+C=0\\\\C = -8$

Несложно сделать вывод, что в этом случае уравнение первообразной будет следующим (и на всякий случай ниже предъявляю два графика - самой функции и ее первообразной, проходящей через заданную точку):

                             $\Large {\boxed { \displaystyle F(x) = \frac{5x^2}{2} - x^3 - 8} }$