Question

Решите уравнение с разделяющимися переменными (x+y)^2*y'=a^2 y(0)=a

Answer 1

Ответ:

y=a*atan((y+x)/a))+(3/4)π*a

Пошаговое объяснение:

Делаем замену g=x+y,  тогда y'=g'-1

Уравнение запишется в виде g^2*(g'-1)=a^2

Оно переходит в уравнение g^2*g'/(a^2+g^2)=1, в котором переменные разделяются

g^2*dg/(a^2+g^2)=dx

(1-a^2dg/(a^2+g^2))=dx

Интегрируем левую и правую часть

g-a*atan(g/a)=x+C

y(0)=a Тогда g(0)=a

a-a*atan(1)=C => C=(3/4)π*a

Возвращаемся к у.

(y+x)-a*atan((y+x)/a))=x+(3/4)π*a

y-a*atan((y+x)/a))=(3/4)π*a

y=a*atan((y+x)/a))+(3/4)π*a