Question

укажите координаты максимума функции$y=-4 x^{ frac{3}{2} } +12x ^{ frac{1}{2} } -3$

Answer 1

Если я правильно поняла
$y=-4*x^frac{3}{2}+12x^frac{1}{2}-3$
Здесь есть ОДЗ $xgeqslant0$

Возьмем производную

$y'_x=-4*frac{3}{2}x^frac{1}{2}+12*frac{1}{2}x^{-frac{1}{2}}$

$y'_x=-6sqrt{x}+6frac{1}{sqrt{x}}$

Чтобы найти критические точки, приравняем к нулю производную

$-6sqrt{x}+6frac{1}{sqrt{x}}=0$

Делим обе части на (-6).

$sqrt{x}-frac{1}{sqrt{x}}=0$

$frac{x-1}{sqrt{x}}=0$

x=1 - удовлетворяет ОДЗ. 

при $y'_x(0,5)=-6sqrt{0,5}+frac{6}{sqrt{0,5}}$

$y'_x(0,5)=frac{-6*0,5+6}{sqrt{0,5}}$

$y'_x(0,5)=frac{3}{sqrt{0,5}}>0$

$y'_x(2)=-6sqrt{2}+frac{6}{sqrt{2}}$

$y'_x(2)=frac{-6*2+6}{sqrt{2}}$

$y'_x(2)=frac{-6}{sqrt{2}}<0$

Значит при переходе через 1, производная меняет знак с + на -. Значит в этой точке реализуется максимум данной функции.

$y(1)=-4*1^frac{3}{2}+12*1^frac{1}{2}-3$

$y(1)=-4+12-3$

y(1)=5.

Ответ: (1; 5)