Question

Прошу помогите пожалуйста, все 75 оставшихся баллов отдаю
Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала (уравнение на картинке

Answer 1

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{7^n}{n(n+2)}}=7=>R=\dfrac{1}{7}=>D:\{x \mid |x| <\dfrac{1}{7}\}$

Исследуем на концах

$x=\dfrac{1}{7}: a_n=\dfrac{1}{n^2+2n}<\dfrac{1}{n^2}=b_n,\;\;\;\; \sum b_n\to$ как обобщенный гармонический со степенью выше 1. А значит $\sum a_n\to$ по признаку сравнения.

$x=-\dfrac{1}{7}: a_n=(-1)^n\dfrac{1}{n^2+2n}$  Ряд из модулей сходится, по доказанному выше, а значит и данный ряд сходится.