Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² - 4х + 4, прямой у = 4х - 3 и осью абсцисс.

Решение предусматривает развернутую обоснованный ответ - записаны последовательные логические действия и объяснения со ссылкой на математические факты, из которых следует то или иное утверждение, при необходимости - проиллюстрировано схемами, графиками, таблицами.


( Обчисліть площу фігури, обмеженої параболою у = х² – 4х + 4, прямою у = 4х – 3 та віссю абсцис.

Розв’язання передбачає розгорнуту обґрунтовану відповідь – записані послідовні логічні дії та пояснення з посиланням на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження, при необхідності - проілюстровано схемами, графіками, таблицями. )

Answer 1

$\displaystyle y=x^2-4x+4=(x-2)^2$ , что то же самое что график $\displaystyle y=x^2$ , который сдвинут на 2 единицы вправо.

$\displaystyle y=4x-3$ - прямая, достаточно взять 2 точки к примеру x=0 тогда y=4 * 0-3 = - 3 и x = 1 тогда y= 4 * 1 - 3 = 1

Точки (x;y)=(0;-3),(1;1)

Построим графики (фото)

Найдем точки пересечения графиков

$\displaystyle x^2-4x+4=4x-3\\\\x^2-8x+7=0\\\\x_1=1\\x_2=7$

Тогда по правилу нахождения площади фигуры, мы должны взять определенный интеграл в точках пересечения фигур и от верхней функции отнять нижнюю:

$\displaystyle S=\int\limits^7_1 {4x-3-x^2+4x-4} \, dx =\int\limits^7_1 {-x^2+8x-7} \, dx =(4x^2-7x-\frac{x^}{3})\mid^7_1=\\\\\\=4*7^2-7*7-\frac{7^3}{3}-(4*1^2-7*1-\frac{1^3}{3})=147-\frac{7^3}{3}-(-\frac{10}{3})=\\\\\\=\frac{451}{3}-\frac{343}{3} =\frac{108}{3}=36$