Question

неопределенный интеграл 1+2x/x^2-6x+8 dx

Answer 1

Ответ:4,5ln|x-4| -2,5 ln|x-2|+C

Объяснение: Для решения интеграла используем метод неопределённых коэффициентов, для этого разложим знаменатель  подинтегральной функции на множители: х²-6х+8=0 ⇒ D=36-32=4 ⇒ х₁=4, х₂=2. Тогда х²-6х+8= (х-4)(х-2)  

Получаем разложение знаменателя на множители в подынтегральном выражении: (2х+1)/(х²-6х+8)=(2х+1)/(х-4)(х-2)= А/(х-4) + В/(х-2)= (А(х-2)+В(х-4))/(х-2)(х-4)=(Ах-2А+Вх-4В)/(х-2)(х-4)= ((А+В)х+(-2А - 4В))/(х-2)(х-4)   В обеих частях равенства отыскиваем слагаемые с одинаковыми степенями икса и составляем из них систему уравнений: А+В=2  и-2А-4В=1, откуда А=4,5 ; В= -2,5. Значит мы получили следуещее разложение подинтегральной функции:

∫(2х+1)dx/(х²-6х+8)=∫(2х+1)dx/(х-4)(х-2)= ∫4,5dx/(x-4) -∫2,5dx/(x-2)= 4,5ln|x-4| -2,5 ln|x-2|+C

Answer 2

$\int \dfrac{1+2x}{x^2-6x+8}\, dx=\int \dfrac{2x+1}{(x-3)^2-1}\, dx=\Big[\; t=x-3\ ,\ dx=dt\ ,\ x=t+3\ \Big]=\\\\\\=\int \dfrac{2t+7}{t^2-1}\, dt=\int \dfrac{2t\, dt}{t^2-1}+7\int \dfrac{dt}{t^2-1}=\int \dfrac{d(t^2-1)}{t^2-1}+7\int \dfrac{dt}{t^2-1}=\\\\\\=ln|t^2-1|+7\cdot \dfrac{1}{2}\cdot ln\Big|\dfrac{t-1}{t+1}\Big|+C=ln|x^2-6x+8|+3,5\cdot ln\Big|\dfrac{x-4}{x-2}\Big|+C$