Question

Интегралы
10 балов!!!
Срочно!!!

Answer 1

Объяснение:

$\int\limits {sin^3(3x)} \, dx$

Пусть u=3x     ⇒     x=u/3      dx=du/3

$\int\limits {\frac{sin^3(u)}{3} } \, du=\frac{1}{3}*\int\limits {sin(u)*sin^2(u)} \, du=\frac{1}{3}*\int\limits {(1-cos^2(u))*sin(u)} \, du.$

Пусть cos(u)=t      ⇒    d(cos(u))=-sin(u)du=dt     sin(u)du=-dt

$\frac{1}{3}*\int\limits {(1-t^2}) \,(- dt) =\frac{1}{3} *\int\limits {(t^2-1)} \, dt =\frac{1}{3}*(\int\limits {t^2} \, dt -\int\limits {1} \, dt)=\\=\frac{1}{3} *(\frac{t^3}{3} -t)=\frac{1}{3}*( \frac{cos^3(u)}{3}-cos(u)) =\frac{1}{3}*( \frac{cos^3(3x)}{3}-cos(3x))=\frac{cos^3(3x)}{9}-\frac{cos(3x)}{3} .$Ответ: $\int\limits {sin^3(3x)} \, dx=\frac{cos^3(3x)}{9}-\frac{cos(3x)}{3} .$