Question

Найти общее решение дифференциального уравнения:

1) y'''=sinx;
2)y'''=$e^{2x}$

Answer 1

$1)\ \ \ y'''=sinx\\\\y''=\int sinx\, dx=-cosx+C_1\\\\y'=\int (-cosx+C_1)\, dx=-sinx+C_1x+C_2\\\\y=\int (-sinx+C_1x+C_2)\, dx=cosx+C_1\cdot \dfrac{x^2}{2}+C_2\cdot x+C_3\\\\\\2)\ \ \ y'''=e^{2x}\\\\y''=\int e^{2x}\, dx=\dfrac{1}{2}\cdot e^{2x}+C_1\\\\y'=\int (\dfrac{1}{2}\cdot e^{2x}+C_1)\, dx=\dfrac{1}{4}\cdot e^{2x}+C_1\cdot x+C_2\\\\y=\int (\dfrac{1}{4}\cdot e^{2x}+C_1\cdot x+C_2)\, dx=\dfrac{1}{8}\cdot e^{2x}+C_1\cdot \dfrac{x^2}{2}+C_2\cdot x+C_3$

Answer 2

трижды проинтегрируем, используя табличные интегралы, получим

1) y'''=sinx;  y''=-cosx+c₁; y'=-sinx+c₁x+c₂

y=cosx+c₁x²/2+c₂x+c₃;

2) y''=(1/2)e²ˣ+c₁; y'=(1/4)e²ˣ+c₁x+c₂

y=(1/8)e²ˣ+c₁x²/2+c₂x+c₃;