Question

Егорка задумал четное натуральное число N, и умножил сумму всех его нечетных делителей на сумму всех его четных делителей и прибавил 1. Получился точный квадрат. Докажите, что Егорка ошибся.

Answer 1

Пусть N имеет натуральные делители $1,\ a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_k,$ и их сумма равна A. Пусть, кроме того, $N=2^p\cdot M,$ где N - нечетное число.

Четные делители числа N имеют вид

$2,\ 2a_1,2a_2,\ \ldots, 2a_k;\ 2^2,\ 2^2a_1,\ \ldots,\ 2^2a_k;\ldots;\ 2^p,\ 2^pa_1,\ \ldots,\ 2^pa_k.$

Складывая четные делители группами в соответствие с тем, сколько множителей вида 2 в них есть, а потом складывая эти группы, получим

$2(1+a_1+\ldots+a_k)+2^2(1+a_1+\ldots+a_k)+\ldots + 2^p(1+a_1+\ldots +a_k)=$

$=2A+2^2A+\ldots 2^pA=2A\frac{2^p-1}{2-1}=2A(2^p-1).$

Требуется проверить, может ли

$A\cdot2A(2^p-1)+1=2A^2(2^p-1)+1$

быть полным квадратом, то есть равняться B².

Конечно, такого быть не может, так как если перенести 1 направо, мы получили бы

$2a^2(2^p-1)=B^2-1=(B-1)(B+1).$

Выражение, стоящее слева, делится на 2, но не делится на 4, выражение же, стоящее справа, или является нечетным (если B четное), или же делится не только на 4, а даже на 8 (хотя нам это и не нужно) -- ведь из двух последовательных четных чисел одно обязательно делится на 4.