Question

Нашёл это неравенство на просторах интернета, решал несколько часов, мб кто нибудь сможет решить этого монстра xD

Answer 1

$\left\{\begin{array}{l}5\cdot 2^{2x+2}-21\cdot 2^{x}-1+1\leq 0\\\dfrac{x^2+2x+2}{x^2+2x}+\dfrac{3x+1}{x-1}\leq \dfrac{4x+1}{x}\end{array}\right\\\\\\1)\ \ 5\cdot 2^{2x+2}-21\cdot 2^{x}-1+1\leq 0\ \ ,\\\\5\cdot 2^{2x}\cdot 2^2-21\cdot 2^{x}\cdot \frac{1}{2}+1\leq 0\ \ ,\ \ \ t=2^{x}>0\\\\20t^2-21\cdot t\cdot \frac{1}{2}+1\leq 0\ \ \ \to \ \ \ 40t^2-21t+2\leq 0\ \ ,\ \ D=121\ ,$

$t_1=\frac{1}{8}\ \ ,\ \ t_2=\frac{2}{5}\ \ ,\ \ 40(t-\frac{1}{8})(t-\frac{2}{5})\leq 0\ \ \ \to \ \ t\in [\ \frac{1}{8}\, ;\, \frac{2}{5}\; ]$

$2)\ \ \dfrac{(x^2+2x)+2}{x^2+2x}+\dfrac{3x+1}{x-1}\leq \dfrac{4x+1}{x}\\\\1+\dfrac{2}{x(x+2)}+3+\dfrac{4}{x-1}\leq 4+\dfrac{1}{x}\\\\\dfrac{2}{x(x+2)}+\dfrac{4}{x-1}-\dfrac{1}{x} \leq 0\\\\\\\dfrac{2(x-1)+4x(x+2)-(x+2)(x-1)}{x(x+2)(x-1)}\leq 0\\\\\\\dfrac{3x^2+9x}{x(x+2)(x-1)}\leq 0\ \ ,\ \ \ \dfrac{3\, (x+3)}{(x+2)(x-1)}\leq 0\\\\\\znaki:\ \ \ ---[-3\, ]+++(-2)---(1)+++\\\\x\in (-\infty ;-3\; ]\cup (-2;\, 1\, )$

$3)\ \ \left\{\begin{array}{l}t\in [\; \frac{1}{8}\, ;\, \frac{2}{5}\; ]\\x\in (-\infty ;-3\; ]\cup (-2\, ;\, 1\, )\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}2^{-3}\leq 2^{x}\leq 2^{log_2(2/5)}\\x\in (-\infty ;-3\; ]\cup (-2\, ;\, 1\, )\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}x\in [\, -3\, ;\, log_2\frac{2}{5}\; ]\\\x\in (-\infty ;-3\; ]\cup (-2\, ;\, 1\, )\end{array}\right\ \ \Rightarrow \ \ \ x\in \{-3\}\cup (\; -2;log_2\frac{2}{5}\, )$