Question

Докажите, что функция f возрастает на множестве R:
б)f(x) = x^5 + 4x
в) f(x) =sin x + 3x/2

Answer 1

$f(x) = x^5 + 4x$

Найдем производную:

$f'(x) = 5x^4 + 4$

Выражение $x^4$ принимает только неотрицательные значения. Значит, выражение $5x^4+4$ принимает только положительные значения.

Таким образом, производная функции на всей области определения положительна. На промежутках, где производная положительна, функция возрастает. Значит, функция возрастает на всей области определения R.

$f(x) = \sin x+\dfrac{3x}{2}$

$f'(x) = \cos x+\dfrac{3}{2}$

Найдем область значений производной:

$-1\leq \cos x\leq1$

$-1+\dfrac{3}{2} \leq \cos x+\dfrac{3}{2} \leq1+\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{1}{2} \leq \cos x+\dfrac{3}{2} \leq\dfrac{5}{2}$

Производная принимает только положительные значения на всей области определения. На промежутках, где производная положительна, функция возрастает. Соответственно, функция возрастает на всей области определения R.