Question

Дифференциальные уравнения:
Найти частные решения:

1) ((d^2y)/(dx^2)) - 6 * (dy/dx) + 13 = 0; если y=3 и dy/dx=11 при x=0

2) ((d^2y)/(dx^2)) - (dy/dx) - 2y = 0; если y=3 и dy/dx=0 при x=0

$1) \frac{d^{2}y }{dx^{2} } - 6 \frac{dy}{dx} + 13 = 0; y=3; \frac{dy}{dx} =11; x=0.\\\\\ 2) \frac{d^{2}y }{dx^{2} } - \frac{dy}{dx} - 2y = 0; y=3; \frac{dy}{dx} =0; x=0.$

Пожалуйста, помогите, кому не сложно и кто разбирается... Сам не справлюсь

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ y''-6y'+13y=0\ \ ,\ \ y(0)=3\ ,\ y'(0)=11\\\\k^2-6k+13=0\ \,\ \ D/4=9-13=-4<0\ \ ,\ \ k_{1,2}=3\pm \sqrt2\, i\\\\y_{obshee}=e^{3x}\, (C_1\, cos\, 2x+C_2\, sin2x)\\\\y(0)=C_1\cdot 1+C_2\cdot 0=3\ \ ,\ \ C_1=3\\\\y'=3e^{3x}\, (C_1\, cos\, 2x+C_2\, sin2x)+e^{3x}\, (-2C_1\, sin\, 2x+2C_2\, cos2x)\\\\y'(0)=3\cdot C_1+2C_2=11\ \ ,\ \ 2C_2=11-9\ \ ,\ \ 2C_2=2\ \ ,\ \ C_2=1\\\\y_{chastn.}=e^{3x}\, (3\, cos2x+sin2x)$

$2)\ \ y''-y'-2y=0\ \ ,\ \ y(0)=3\ ,\ y'(0)=0\\\\k^2-k-2=0\ \ ,\ \ k_1=-1\ ,\ k_2=2\ \ (teorema\ Vieta)\\\\y_{obshee}=C_1\cdot e^{-x}+C_2\cdot e^{2x}\\\\y(0)=C_1+C_2=3\\\\y'=-C_1\cdot e^{-x}+2C_2\cdot e^{2x}\\\\y'(0)=-C_1+2C_2=0$

$\left\{\begin{array}{ccc}C_1+C_2=3\\-C_1+2C_2=0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}C_1=3-C_2\\3C_2=3\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}C_1=2\\C_2=1\end{array}\right\\\\\\y_{chastn.}=2\cdot e^{-x}+e^{2x}$