Question

Прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см вращается вокруг
меньшего катета. Найдите объем и площадь полной поверхности фигуры
вращения.

Answer 1

Дано: конус с вершиной B, с высотой AB = 8 cm, с радиусом основания AC = 15 cm

Найти: Sкон, Vкон - ?

Решение:

Подставим значения в формулу объема конуса:

    $V_{KOH} = \frac{1}{3}r^2\cdot h\cdot \pi = \frac{1}{3}AC^2\cdot AB\cdot \pi \\\\V_{KOH} = \frac{1}{3}\cdot 15^2\cdot 8\cdot \pi = \frac{1800}{3} =600 \pi \:\: (cm^3)$

Найдем образующую конуса BC через прямоугольный ΔABC (∠A = 90°), приметим т. Пифагора:

    $BC^2 = AB^2+AC^2 \:\: \Leftrightarrow \:\: BC=\sqrt{AB^2+AC^2} \\BC=\sqrt{8^2+15^2} = \sqrt{64+225} = \sqrt{289} = 17 \:\: (cm)$

Подставим значения в формулу полной поверхности конуса:

$S_{KOH} = S_{OCH}+S_{6OK} = r^2\pi + rl\pi = AC^2\pi + AC\cdot BC\pi \\S_{KOH} = 15^2\pi + 15\cdot 17\pi = 225\pi + 255\pi = 480\pi \:\: (cm^2)$

Ответ: объем равен 600π cm³, площадь полной поверхности равна 480π cm².