Question

Решить приближенно задачу Коши методом Рунге-Кутта:

Answer 1

$y'=x^2+\dfrac{1}{1+y^2}$

Решениями являются следующие пары:

$(0;\ y_1),\ (0.1;\ y_2),\ (0.2;\ y_3)$

По условие уже известно, что $y_1=1$

Для вычисления последующих значений $y$ используем формулу:

$y_{i+1}=y_i+\dfrac{h}{6}\cdot (k_1+2k_2+2k_3+k_4)$, где:

$k_1=f(x_i;\ y_i)$

$k_2=f\left(x_i+\dfrac{h}{2} ;\ y_i+\dfrac{hk_1}{2}\right)$

$k_3=f\left(x_i+\dfrac{h}{2} ;\ y_i+\dfrac{hk_2}{2}\right)$

$k_4=f\left(x_i+h ;\ y_i+hk_3\right)$

$f(x; \ y)=x^2+\dfrac{1}{1+y^2}$

Рассчитываем $y_2$:

$k_1=f(0;\ 1)=0^2+\dfrac{1}{1+1^2}=\dfrac{1}{2} =0.5$

$k_2=f\left(0+\dfrac{0.1}{2} ;\ 1+\dfrac{0.1\cdot0.5}{2}\right)=f(0.05;\ 1.025)=\\=0.05^2+\dfrac{1}{1+1.025^2}\approx0.49$

$k_3=f\left(0+\dfrac{0.1}{2} ;\ 1+\dfrac{0.1\cdot0.49}{2}\right)=f(0.05;\ 1.0245)=\\=0.05^2+\dfrac{1}{1+1.0245^2}\approx0.49$

$k_4=f\left(0+0.1 ;\ 1+0.1\cdot0.49\right)=f\left(0.1 ;\ 1.049\right)=\\=0.1^2+\dfrac{1}{1+1.049^2}\approx0.486$

$y_2=y_1+\dfrac{h}{6}\cdot (k_1+2k_2+2k_3+k_4)\approx\\\approx1+\dfrac{0.1}{6}\cdot (0.5+2\cdot0.49+2\cdot0.49+0.486)\approx1.049$

Рассчитываем $y_3$:

$k_1=f(0.1;\ 1.049)=0.1^2+\dfrac{1}{1+1.049^2}\approx0.486$

$k_2=f\left(0.1+\dfrac{0.1}{2} ;\ 1.049+\dfrac{0.1\cdot0.486}{2}\right)=f(0.15;\ 1.0733)=\\=0.15^2+\dfrac{1}{1+1.0733^2}\approx0.487$

$k_3=f\left(0.1+\dfrac{0.1}{2} ;\ 1.049+\dfrac{0.1\cdot0.487}{2}\right)=f(0.15;\ 1.07335)=\\=0.15^2+\dfrac{1}{1+1.07335^2}\approx0.487$

$k_4=f\left(0.1+0.1 ;\ 1.049+0.1\cdot0.487\right)=f\left(0.2 ;\ 1.0977\right)=\\=0.2^2+\dfrac{1}{1+1.0977^2}\approx0.494$

$y_3=y_2+\dfrac{h}{6}\cdot (k_1+2k_2+2k_3+k_4)\approx\\\approx1.049+\dfrac{0.1}{6}\cdot (0.486+2\cdot0.487+2\cdot0.487+0.494)\approx1.098$

Приближенные решения:

$(0;\ 1),\ (0.1;\ 1.049),\ (0.2;\ 1.098)$