Question

Найдите угол С треугольника АВС заданного координатами его вершин: А(1;1;0), В(2;-1;3), С(4;1;1).

Answer 1

Дано
$A(1;1;0) \ B(2;-1;3) \ C(4;1;1)$
***Решение***
Найдем длину сторон треугольника, по формуле длины вектора
$|AB|= sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2+(z_{B}-x_{A})^2}$
$|AB|= sqrt{(2-1)^2+(-1-1)^2+(3-0)^2}= sqrt{1+(-2)^2+3^2} =$
$= sqrt{1+4+9}= sqrt{14}$
$|BC|= sqrt{(4-2)^2+(1-(-1))^2+(1-3)^2}= sqrt{2^2+2^2+(-2)^2} =$
$=sqrt{4+4+4} = sqrt{12}$
$|AC|= sqrt{(4-1)^2+(1-1)^2+(1-0)^2}= sqrt{3^2+0^2+1^2} =$
$= sqrt{9+1} = sqrt{10}$
По теореме косинусов
$c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosalpha$
отсюда
$c^2=a^2+b^2-2*a*b*cosalpha\ 2*a*b*cosalpha=a^2+b^2-c^2\ cosalpha= frac{a^2+b^2-c^2}{2*a*b}$
подставим
$cosalpha= frac{(sqrt{12})^2+( sqrt{10})^2-( sqrt{14})^2} {2* sqrt{12}* sqrt{10}} = frac{12+10-14}{2*sqrt{12*10}} = frac{8}{2* sqrt{4*3*10}} =frac{4}{2* sqrt30} } =$$=frac{2}{ sqrt{30} }$
следовательно
$alpha =arccos(frac{2}{ sqrt{30} })$