Question

Допоможіть розв'язати 15. 40, будь ласка!!!

Answer 1

Заметим, что

$(\sqrt5+2)(\sqrt5+2)=5-4=1\Rightarrow (\sqrt5-2)=1/(\sqrt5+2)$

Сделаем замену: $(\sqrt5-2)^x=t>0$.

Имеем следующее неравенство:

$t+\frac{1}{t}<2\sqrt5 ;$

Один из тех немногих случаев, когда в неравенстве можно спокойно домножить на $t$ в силу того, что оно всегда больше 0:

$t^2-2\sqrt5t+1<0$.

Левая часть равна 0 при $t=\sqrt5\pm2$. Следовательно, решение неравенства - $t\in(\sqrt5-2;\sqrt5+2)$, но удобнее его записать в виде двойного неравенства:$\sqrt5-2<t<\sqrt5+2$.

Делаем обратную замену:

$\sqrt5-2<(\sqrt5-2)^x<\sqrt5+2,\\\\(\sqrt5-2)^1<(\sqrt5-2)^x<(\sqrt5-2)^{-1}$

Так как имеем в каждой части степени с одинаковыми показателями, можно их опустить. Но поскольку $\sqrt5-2<1$, все знаки необходимо поменять на противоположные, т.е. $1>x>-1$, или $-1<x<1$ (можно записать и в виде интервала $x\in(-1;1)$

Единственное целое число, включенное в промежуток$(-1;1)$, это число 0. Соответственно, сумма целых решений тоже равна 0.

ОТВЕТ: 0.