Question

Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N.

Answer 1

Ответ:

A=-5

Пошаговое объяснение:

$A=\int\limits_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy$

$P(x,y)=x+y; \ Q(x,y)=x-y$

Лучше всего перейти к параметрической записи линии L

$L: x^2+\frac{y^2}{9}=1 \ \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=cost\\ y=3 sint \end{matrix}\right.$

Также находим дифференциалы для подстановки в интеграл:

$dx=-sint \ dt; \ dy=3cost \ dt$

M(1,0), N(0,3)

Если интегрировать по х, то x₁=1, x₂=0

$x_1=cost_1 \\ cost_1=1 \\ t_1=0 \\ \\ x_2=cost_2 \\ cost_2=0 \\ t_2=\frac{\pi}{2}$

$A=\int\limits_L(x+y)dx+(x-y)dy=\int\limits_0^\frac{\pi}{2} (cost+3sint)*(-sint) dt+\\ \\ +(cost-3sint)*3cost \ dt=\int\limits_0^\frac{\pi}{2} [-sint(cost+3sint) +\\ \\ +3cost(cost-3sint) ] dt=\int\limits_0^\frac{\pi}{2} (-sintcost-3sin^2t +\\ \\ +3cos^2t-9sintcost) dt=\int\limits_0^\frac{\pi}{2} (-10sintcost-3sin^2t+3cos^2t dt=\\ \\ =\frac{x}{y} \int\limits_0^\frac{\pi}{2} (-5sin2t+3cos2t) dt=\frac{1}{2} \int\limits_0^\frac{\pi}{2} (-5sin2t+3cos2t) d(2t)=$

$=\frac{1}{2} (5cos2t+3sin2t)|_0^\frac{\pi}{2}=\frac{1}{2} (5cos\pi+3sin\pi -5cos0-3sin0)=\frac{1}{2} (-5-5)=\\ \\ =-5$