Question

Составить уравнение прямой, не параллельной оси абсцисс, что проходит через точку $M(\frac{1}{2};2)$ и касается графика функции $y=2-\frac{x^2}{2}$
В ответ записать абсциссу точки касания. Ответ: 1.

Answer 1

Пусть точка касания равна $x_0$. Составим уравнение касательной к графику функции $y=2-\dfrac{x^2}{2}$ в этой точке.

$y(x_0)=2-\dfrac{x_0^2}{2}$

$y'=-x$

$y'(x_0)=-x_0$

Уравнение касательной:

$y_k=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$

$y_k=2-\dfrac{x_0^2}{2}-x_0(x-x_0)$

$y_k=2-\dfrac{x_0^2}{2}-x_0x+x_0^2$

$y_k=2+\dfrac{x_0^2}{2}-x_0x$

Так как касательная проходит через точку $M\left(\dfrac{1}{2} ;\ 2\right)$, то подставим ее координаты в уравнение:

$2=2+\dfrac{x_0^2}{2}-\dfrac{1}{2} x_0$

$\dfrac{x_0^2}{2}-\dfrac{1}{2} x_0=0$

$x_0^2-x_0=0$

$x_0(x_0-1)=0$

$x_0=0;\ x_0=1$

Проверим получающиеся уравнения касательной. Если $x_0=0$:

$y_k=2+\dfrac{0}{2}-0$

$y_k=2$ - прямая параллельна оси абсцисс - противоречие условию

Если $x_0=1$:

$y_k=2+\dfrac{1}{2}-x$

$y_k=\dfrac{5}{2}-x$ - корректное уравнение касательной

Ответ: 1