Question

Найти общее решение дифференциального уравнения. Сделать проверку.

Answer 1

$y''-3y'+2y=(1-2x)e^{x}\\\\1)\ \ \lambda ^2-3\lambda +2=0\ \,\ \ \lambda _1=1\ ,\ \lambda _2=2\\\\y_{obsh.odnor.}=C_1\, e^{x}+C_2\, e^{2x}\\\\2)\ \ f(x)=(1-2x)e^{x}\ \ ,\ \ \lambda _1=1\ \ \to \ \ r=1\ \ \to \\\\\widetilde{y}=(A+Bx)\, e^{x}\cdot x^{r}=(Ax+Bx^2)\, e^{x}\\\\\widetilde{y}\, '=(A+2Bx)e^{x}+(Ax+Bx^2)e^{x}\\\\\widetilde{y}\, ''=2Be^{x}+(A+2Bx)e^{x}+(A+2Bx)e^{x}+(Ax+Bx^2)e^{x}\\\\\widetilde{y}\, ''-3\widetilde{y}\, '+2\widetilde{y}=-(A+2Bx)e^{x}+2Be^{x}=(1-2x)e^{x}\\\\-A-2Bx+2B=1-2x$

$2B-A=1\ \ ,\\-2B=-2\ \,\ \ B=1\ \ \to \ \ \ 2\cdot 1-A=1\ \ ,\ \ A=1\\\\\widetilde{y}=x\cdot (1+x)\, e^{x}\\\\3)\ \ y_{obsh.neodn.}=C_1e^{x}+C_2\, e^{2x}+x\cdot (1+x)\, e^{x}$