Question

Решите уравнение:
$A^3_n_-_2 = 4A^2_n_-_3$
$20A^3 _n_-_2=A^5 _n$
$A^4_n = 15A^3_n_-_2$

Answer 1

$A^3_{n-2}=4A^2_{n-3}$

Допустимые значения: $n\in \mathbb{Z},\ n-2\geq 3,\ n-3\geq 2\Rightarrow n\in \mathbb{Z},\ n\geq 5$

$(n-2)(n-3)(n-4)=4(n-3)(n-4)$

$(n-2)(n-3)(n-4)-4(n-3)(n-4)=0$

$(n-2-4)(n-3)(n-4)=0$

$(n-6)(n-3)(n-4)=0$

$n=6$

$n=3$ - не удовлетворяет условию $n\geq 5$

$n=4$ - не удовлетворяет условию $n\geq 5$

Ответ: 6

$20A_{n-2}^3=A_n^5$

Допустимые значения: $n\in \mathbb{Z},\ n-2\geq 3,\ n\geq 5\Rightarrow n\in \mathbb{Z},\ n\geq 5$

$20(n-2)(n-3)(n-4)=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)$

$n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)-20(n-2)(n-3)(n-4)=0$

$(n^2-n-20)(n-2)(n-3)(n-4)=0$

$(n+4)(n-5)(n-2)(n-3)(n-4)=0$

$n=-4$ - не удовлетворяет условию $n\geq 5$

$n=5$

$n=2$ - не удовлетворяет условию $n\geq 5$

$n=3$ - не удовлетворяет условию $n\geq 5$

$n=4$ - не удовлетворяет условию $n\geq 5$

Ответ: 5

$A_n^4=15A_{n-2}^3$

Допустимые значения: $n\in \mathbb{Z},\ n\geq 4,\ n-2\geq 3\Rightarrow n\in \mathbb{Z},\ n\geq 5$

$n(n-1)(n-2)(n-3)=15(n-2)(n-3)(n-4)$

$n(n-1)(n-2)(n-3)-15(n-2)(n-3)(n-4)=0$

$\left(n(n-1)-15(n-4)\right)(n-2)(n-3)=0$

$(n^2-n-15n+60)(n-2)(n-3)=0$

$(n^2-16n+60)(n-2)(n-3)=0$

$(n-6)(n-10)(n-2)(n-3)=0$

$n=6$

$n=10$

$n=2$ - не удовлетворяет условию $n\geq 5$

$n=3$ - не удовлетворяет условию $n\geq 5$

Ответ: 6 и 10