Question

Висота опущено на гіпотенузу прямокутного трикутника ділить її на відрізки 6 см і 18 см.Знайдіть сторони цього трикутника і висоту,проведену до гіпотенузи

Answer 1

Дано:

• abc — прямокутний трикутник;
• a, b — катети, c — гіпотенуза
• h — висота, проведена до гіпотенузи
• a$_c$ = 6 cm. b$_c$ = 18 cm

Знайти:

• a, b, h — ?

Розв'язок:

1) Висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між  проекцією катетів на гіпотенузу:

   $h^2 = a_c\cdot b_c\:\: \Leftrightarrow \:\: h=\sqrt{a_c\cdot b_c} \\h=\sqrt{6\cdot 18}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 2\cdot 9} = \sqrt{4} \sqrt{9} \sqrt{3} = 2\cdot 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{3} \:\: (cm)$

2) $c=c_a+c_b = 6+18 = 24 \:\: (cm)$

3) Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою та проекцією цього катета на гіпотенузу:

   $a^2=c\cdot a_c \:\: \Leftrightarrow \:\: a = \sqrt{c\cdot a_c} \\a = \sqrt{24\cdot 6} = \sqrt{3\cdot 4\cdot 2\cdot 3\cdot 2} = \sqrt{9} \sqrt{4} \sqrt{4}=3\cdot 2\cdot 2 = 12 \:\: (cm)$

   $b= \sqrt{c\cdot b_c} \\b = \sqrt{24\cdot 18} = \sqrt{3\cdot 4\cdot 2\cdot 2\cdot 9} =\sqrt{4} \sqrt{4} \sqrt{9} \sqrt{3} =2\cdot2\cdot3\sqrt{3}=12\sqrt{3} \:\: (cm)$

Відповідь:

• a = 12 cm;  
• b = 12√3 cm;  
• h = 6√3 cm.