Question

Продолжение заданий​

Answer 1

$\begin{cases} x_1'=4x_1+8x_2+2e^{3x}\\ x_2'=-3x_1-6x_2+e^{3x}\end{cases}$

Дифференцируем первое уравнение:

$x_1''=4x_1'+8x_2'+2\cdot3e^{3x}$

Подставим выражение для $x_2'$:

$x_1''=4x_1'+8(-3x_1-6x_2+e^{3x})+6e^{3x}$

$x_1''=4x_1'-24x_1-48x_2+8e^{3x}+6e^{3x}$

$x_1''=4x_1'-24x_1-48x_2+14e^{3x}$

Домножим первое уравнение системы на 6 и сложим его с полученным уравнением:

$\begin{cases} 6x_1'=24x_1+48x_2+12e^{3x}\\ x_1''=4x_1'-24x_1-48x_2+14e^{3x}\end{cases}$

$x_1''+6x_1'=4x_1'-24x_1-48x_2+14e^{3x}+24x_1+48x_2+12e^{3x}$

$x_1''+2x_1'=26e^{3x}$

Составим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:

$x_1''+2x_1'=0$

Составим характеристическое уравнение:

$\lambda^2+2\lambda=0$

$\lambda(\lambda+2)=0$

$\lambda=0;\ \lambda=-2$

Общее решение однородного уравнения:

$X_1=C_1+C_2e^{-2x}$

Частно решение неоднородного уравнения ищем в виде:

$\overline{x_1}=Ae^{3x}$

Найдем первую и вторую производную:

$\overline{x_1}'=3Ae^{3x}$

$\overline{x_1}''=9Ae^{3x}$

Подставим в неоднородное уравнение:

$9Ae^{3x}+2\cdot3Ae^{3x}=26e^{3x}$

$9A+6A=26$

$15A=26$

$A=\dfrac{26}{15}$

Частное решение неоднородного уравнения:

$\overline{x_1}=\dfrac{26}{15}e^{3x}$

Общее решение неоднородного уравнения:

$x_1=X_1+\overline{x_1}$

$x_1=C_1+C_2e^{-2x}+\dfrac{26}{15}e^{3x}$

Найдем первую производную:

$x_1'=-2C_2e^{-2x}+\dfrac{26}{15}\cdot3e^{3x}=-2C_2e^{-2x}+\dfrac{26}{5}e^{3x}$

Выразим из первого уравнения $x_2$:

$x_2=\dfrac{x_1'-4x_1-2e^{3x}}{8}$

$x_2=\dfrac{-2C_2e^{-2x}+\dfrac{26}{5}e^{3x}-4\left(C_1+C_2e^{-2x}+\dfrac{26}{15}e^{3x}\right)-2e^{3x}}{8}$

$x_2=\dfrac{-2C_2e^{-2x}+\dfrac{26}{5}e^{3x}-4C_1-4C_2e^{-2x}-\dfrac{104}{15}e^{3x}-2e^{3x}}{8}$

$x_2=\dfrac{-4C_1-6C_2e^{-2x}-\dfrac{56}{15}e^{3x}}{8}$

$x_2=-\dfrac{1}{2}C_1-\dfrac{3}{4}C_2e^{-2x}-\dfrac{7}{15}e^{3x}$

Общее решение системы:

$\begin{cases} x_1=C_1+C_2e^{-2x}+\dfrac{26}{15}e^{3x}\\ x_2=-\dfrac{1}{2}C_1-\dfrac{3}{4}C_2e^{-2x}-\dfrac{7}{15}e^{3x}\end{cases}$