Question

Помогите. Решить не могу.

Answer 1

Главное избавиться от корней в разности корней, для этого функцию и умножают на выражение, сопряжённое разности корней.

Сопряжённое выражение - это то же выражение, но с противоположным знаком.

Умножим и числитель, и знаменатель на СУММУ тех же корней. В итоге в числителе получится разность квадратов, и корни в числителе сгорят.

Бояться этой суммы корней в знаменателе не стоит, просто продолжим упрощать выражение насколько возможно, а затем просто подставим число, к которому стремится предел. И получится ответ, идеально подходящий к имеющемуся у вас шаблону.

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+13}-\sqrt{4x+7}}{x-2}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+13}-\sqrt{4x+7})(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}{x-2(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{(x+13)-(4x+7)}{x-2(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{-3x+6}{x-2(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{-3(x-2)}{x-2(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{-3}{(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{-3}{(\sqrt{2+13}+\sqrt{(4*2)+7})}=\frac{-3}{2\sqrt{15}}$