Question

Выберите верные утверждения:
1)Если у линейного уравнения есть целый корень, то и коэффициенты уравнения целые.
2)Если свободный член линейного уравнения не равен нулю, то число ноль не является корнем этого уравнения.
3)Существует линейное уравнение, равносильное уравнению 40х = 20, в котором коэффициент при неизвестном равен 2.
4)Если в линейном уравнении коэффициент при неизвестном целый и делится на свободный член, то у уравнения есть целый корень.​

Answer 1

Объяснение:

1).

Если у линейного уравнения есть целый корень, то и коэффициенты уравнения целые. Это неверно.

Линейное уравнение имеет вид $kx+b=0$. Или же $x=-b/k$.

Если у нас есть подходящий пример: целый корень и целые коэффициенты, то мы можем разделить оба коэффициента на одно и то же число. Очевидно, что тогда решение уравнения ($x=-b/k$) останется таким же, а коэффициенты могут стать дробными.

• Контрпример: $0,5 \cdot x - 1 = 0$. Корень уравнения $x=2$ - целый, а вот коэффициенты не все целые.

2).

Если свободный член линейного уравнения не равен нулю, то число ноль не является корнем этого уравнения. Это верно.

Наше линейное уравнение можно переписать в виде $kx = -b$, причем $b \neq 0$. Но раз $b$ не равно нолю, то и произведение $kx$ тоже никак не может быть нолем (в силу равенства двух частей уравнения). Из этого следует, что $k \neq 0$ и $x \neq 0$ ($x \neq 0$ - это то, что мы хотели получить).

• Пример: $2x=0$ - свободный член уравнения равен $0$ и корень уравнения тоже равен $0$ ($x=0$); $2x+4=0$ - свободный член уравнения не равен $0$ и корень уравнения - тоже не $0$ ($x=-2$).

3).

Существует линейное уравнение, равносильное уравнению $40x=20$, в котором коэффициент при неизвестном равен $2$. Это верно.

Мы можем просто сократить левую и правую часть уравнения на число $20$, и тогда у нас получится как раз и требуемое линейное уравнение (это $2x=1$). У этих двух уравнений будут одинаковые корни, и, значит, они будут равносильными.

• Пример: $2x-1=0$, $x=0,5$ - равносильное уравнение.

4).

Если в линейном уравнении коэффициент при неизвестном целый и делится на свободный член, то у уравнения есть целый корень.​ Это неверно.

Из того, что $x=-b/k$ следует, что если свободный член ($b$) целый и нацело делится на коэффициент при неизвестном ($k$), то у уравнения есть целый корень. Но не наоборот!

• Контрпример: $10x-5=0$, коэффициент при неизвестном целый ($10$) и нацело делится на свободный член ($-5$), но решение какое-то не такое: $x=0,5$.

Значит, верные утверждения: второе и третье.

Ответ: 2, 3.