Question

Найти приближенное решение задачи Коши в заданном промежутке с шагом h методом Эйлера и Рунге - Кутта

Answer 1

$y'=\dfrac{x+1}{y+1} +y^2$

Метод Эйлера.

Решениями являются следующие пары:

$(0.3;\ y_1),\ (0.4;\ y_2),\ (0.5;\ y_3),\ (0.6;\ y_4),\\(0.7;\ y_5),\ (0.8;\ y_6),\ (0.9;\ y_7),\ (1.0;\ y_8)$

Причем по условию $y_1=1.5$.

Для вычисления $y$ используется формула:

$y_{i+1}=y_i+h\cdot f(x_i;\ y_i)$, где $f(x;\ y)=\dfrac{x+1}{y+1} +y^2$

$y_2=y_1+h\cdot f(x_1;\ y_1)=1.5+0.1\cdot\left(\dfrac{0.3+1}{1.5+1} +1.5^2\right)=1.777$

В дальнейших вычислениях результат будем округлять до тысячных:

$y_3=y_2+h\cdot f(x_2;\ y_2)=1.777+0.1\cdot\left(\dfrac{0.4+1}{1.777+1} +1.777^2\right)\approx2.143$

$y_4=y_3+h\cdot f(x_3;\ y_3)=2.143+0.1\cdot\left(\dfrac{0.5+1}{2.143+1} +2.143^2\right)\approx2.65$

$y_5=y_4+h\cdot f(x_4;\ y_4)=2.65+0.1\cdot\left(\dfrac{0.6+1}{2.65+1} +2.65^2\right)\approx3.396$

$y_6=y_5+h\cdot f(x_5;\ y_5)=3.396+0.1\cdot\left(\dfrac{0.7+1}{3.396+1} +3.396^2\right)\approx4.588$

$y_7=y_6+h\cdot f(x_6;\ y_6)=4.588+0.1\cdot\left(\dfrac{0.8+1}{4.588+1} +4.588^2\right)\approx6.725$

$y_8=y_7+h\cdot f(x_7;\ y_7)=6.725+0.1\cdot\left(\dfrac{0.9+1}{6.725+1} +6.725^2\right)\approx11.272$

Итак, приближенные решения:

$(0.3;\ 1.5),\ (0.4;\ 1.777),\ (0.5;\ 2.173),\ (0.6;\ 2.65),\\(0.7;\ 3.396),\ (0.8;\ 4.588),\ (0.9;\ 6.725),\ (1.0;\ 11.272)$

Метод Рунге-Кутта:

Аналогично, последующие значения вычисляются через предыдущие, только по другой формуле:

$y_{i+1}=y_i+\dfrac{h}{6}\cdot (k_1+2k_2+2k_3+k_4)$, где:

$k_1=f(x_i;\ y_i)$

$k_2=f\left(x_i+\dfrac{h}{2} ;\ y_i+\dfrac{hk_1}{2}\right)$

$k_3=f\left(x_i+\dfrac{h}{2} ;\ y_i+\dfrac{hk_2}{2}\right)$

$k_4=f\left(x_i+h ;\ y_i+hk_3\right)$

Рассчитаем $y_2$:

$k_1=f(x_1;\ y_1)=\dfrac{0.3+1}{1.5+1} +1.5^2=2.77$

$k_2=f\left(x_1+\dfrac{h}{2} ;\ y_1+\dfrac{hk_1}{2}\right)=f\left(0.3+\dfrac{0.1}{2} ;\ 1.5+\dfrac{0.1\cdot2.77}{2}\right)=\\=f\left(0.35 ;\ 1.6385\right)=\dfrac{0.35+1}{1.6385+1} +1.6385^2\approx3.196$

$k_3=f\left(x_1+\dfrac{h}{2} ;\ y_1+\dfrac{hk_2}{2}\right)=f\left(0.3+\dfrac{0.1}{2} ;\ 1.5+\dfrac{0.1\cdot3.196}{2}\right)=\\=f\left(0.35 ;\ 1.6598\right)=\dfrac{0.35+1}{1.6598+1} +1.6598^2\approx3.262$

$k_4=f\left(x_1+h ;\ y_1+hk_3\right)=f\left(0.3+0.1 ;\ 1.5+0.1\cdot3.262\right)=\\=f\left(0.4 ;\ 1.8262\right)=\dfrac{0.4+1}{1.8262+1} +1.8262^2\approx3.83$

$y_2=y_1+\dfrac{h}{6}\cdot (k_1+2k_2+2k_3+k_4)=\\=1.5+\dfrac{0.1}{6}\cdot (2.77+2\cdot3.196+2\cdot3.262+3.83)\approx1.825$

Результаты остальных расчетов показаны в таблице.

Приближенные решения:

$(0.3;\ 1.5),\ (0.4;\ 1.825),\ (0.5;\ 2.292),\ (0.6;\ 3.031),\\(0.7;\ 4.403),\ (0.8;\ 7.9),\ (0.9;\ 32.13),\ (1.0;\ 3601296)$

45712f46707ab1434d3575f6f63fa229.xlsx