Question

Решить однородные уравнения второй степени
1) 9sinx * cosx - 7cos²x = 2sin² x
2) 2sin²x - sinx * cosx = cos²x

Answer 1

$9\sin x\cos x - 7\cos^2x = 2\sin^2x$

$2\sin^2x-9\sin x\cos x+7\cos^2x =0$

Разделим на $\cos^2x\neq0$:

$2\mathrm{tg}^2x-9\mathrm{tg}x+7 =0$

Сумма коэффициентов равна 0, значит корни уравнения 1 и 7/2:

$\mathrm{tg}x=1\Rightarrow \boxed{x_1=\dfrac{\pi}{4} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

$\mathrm{tg}x=\dfrac{7}{2} \Rightarrow \boxed{x_2=\mathrm{arctg}\dfrac{7}{2} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

$2\sin^2x - \sin x\cos x =\cos^2x$

$2\sin^2x - \sin x\cos x -\cos^2x=0$

Разделим на $\cos^2x\neq0$:

$2\mathrm{tg}^2x-\mathrm{tg}x-1 =0$

Сумма коэффициентов равна 0, значит корни уравнения 1 и -1/2:

$\mathrm{tg}x=1\Rightarrow \boxed{x_1=\dfrac{\pi}{4} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

$\mathrm{tg}x=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow \boxed{x_2=-\mathrm{arctg}\dfrac{1}{2} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$