Question

Знайдіть корені рівняння
1) х 4 +2х 2 -3=0;
2) Х2 -3/Х+3=1/Х+3, Х2- ЦЕ Х У КВАДРАТІ;
3) 2(х – 2) 2 – 3(х -2) +1 =0

Answer 1

$1)x^4+2x^2-3=0$

Замена: $x^2=t, t\geq 0$

$t^2+2t-3=0;\\\\t_1=1, t_2=-3<0.$

Значит,

$t=1,\\\\x^2=1,\\\\x=\pm1$

ОТВЕТ: -1; 1.

$2)x^2-\frac{3}{x+3}=\frac{1}{x+3}$

ОДЗ: $x\neq -3$ . С учетом данного условия уравнение равносильно следующему:

$x^2=\frac{3}{x+3}+\frac{1}{x+3};\\\\x^2=\frac{4}{x+3};$

Обе части умножим на $x+3\neq 0$:

$x^2(x+3)=4;\\\\x^3+3x^2-4=0;\\\\x^3-x^2+4x^2-4=0;\\\\x^2(x-1)+4(x^2-1)=0;\\\\x^2(x-1)+4(x-1)(x+1)=0;\\\\(x-1)(x^2+4(x+1))=0;\\\\(x-1)(x^2+4x+4)=0\\\\(x-1)(x+2)^2=0$

Отсюда получаем два корня: $x_1=-2$ и $x_2=1$. Оба они удовлетворяют ОДЗ и идут в ответ.

ОТВЕТ: -2; 1.

$3)2(x-2)^2-3(x-2)+1=0$

Можно решать заменой, но так как мне лень, привожу решение "в лоб":

$2(x^2-4x+4)-3(x-2)+1=0;\\\\2x^2-8x+8-3x+6+1=0;\\\\2x^2-11x+15=0;\\\\D=(-11)^2-4\cdot2\cdot15=121-120=1;\\\\x_{1,2}=\frac{-(-11)\pm\sqrt{1}}{2\cdot2}=\frac{11\pm1}{4}\\\\x_1=\frac{11+1}{4}=3,\\\\x_2=\frac{11-1}{4}=2,5$

ОТВЕТ: 2,5; 3.