Question

Необходимо найти частное решение дифференциального уравнения.

y'+(1/x)y=xy^2

y(1)=1​

Answer 1

$y'+\frac{1}{x}\cdot y=xy^2\\\\y=uv\ \ ,\ \ y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+\frac{uv}{x}=x(uv)^2\\\\u'v+u\, (v'+\frac{v}{x})=x(uv)^2\\\\a)\ \ \frac{dv}{dx}=-\frac{v}{x}\ \ ,\ \ \int \frac{dv}{v}=-\int \frac{dx}{x}\ \ ,\ \ ln|v|=-ln|x|\ \ ,\ \ v=\frac{1}{x}\\\\b)\ \ u'\cdot \frac{1}{x}=x\cdot u^2\cdot \frac{1}{x^2}\ \ ,\ \ \frac{du}{dx}=u^2\ \ ,\ \ \int \frac{du}{u^2}=\int dx\ \ ,\ \ -\frac{1}{u}=x+C\ ,\\\\u=-\frac{1}{x+C}\\\\c)\ \ \ y=-\frac{1}{x\, (x+C)}$

$d)\ \ y(1)=1:\ \ 1=-\frac{1}{1+C}\ \ ,\ \ 1+C=-1\ \ ,\ \ C=-2\\\\y=-\frac{1}{x\, (x-2)}$