Question

При каких значениях параметра a функция y=(a+2)$x^{3}$-3a$x^{2}$+9ax-2 убывает на R

Answer 1

Ответ:

a∈(-∞ ; -2)

Объяснение:

Чтобы функция монотонно убывала на R , необходимо и достаточно , чтобы производная этой функции   не была  положительна для всех x∈R. ( скорость роста  функции всегда не положительна , то  есть идет постоянное убывание . y'<=0 )

y=(a+2)*x^3 -3*a*x^2 +9*a*x -2

Параметр a  является константой и дифференцируется подобно константе.

y'=3*(a+2)*x^2 -6*a*x +9*a  - квадратный трехчлен (парабола)

Парабола не положительна при всех значениях x тогда и только тогда  ,когда    ее дискриминант не положителен (D<=0) и ветви параболы идут вниз ( 3*(a+2)<0   → a<-2)

D/4 =  9*a^2 -27*(a+2)*a <=0

a^2 -3*a*(a+2)<=0

a* (a -3*(a+2) ) <=0

a* (-2a-2) <=0

a*(a+1)>=0

a<-2

a∈(-∞ ; -2)

Рассмотрим отдельно  случай понижения степени функции : a=-2

y'= 12*x-18 - данная функция может быть положительна.

Ответ : a∈(-∞ ; -2)