11 студентов написали тест.Учитель проверил работы и заметил, что для любых двух вопросов теста, найдутся хотя бы 6 студентов, каждый из которых ответил правильно ровно на один из этих двух вопросов. Докажите, что в тексте было не более 12 вопросов.
Ответы
Представим себе двудольный граф: слева вершины, обозначающие студентов, справа — вопросы. Если студент ответил на вопрос, то между этим студентом и этим вопросом проведем ребро.
Рассмотрим первую пару вопросов (). Для них по условию найдется хотя бы 6 студентов, каждый из которых ответил правильно ровно на один из этих двух вопросов. Пусть это множество из хотя бы 6 студентов называется
. Тогда остальных студентов (тех, что не удовлетворяют описанному требованию) не больше 5 — это множество
. Рассмотрим следующую пару вопросов (
,попарно отличных от предыдущих). Тогда
имеет с
хотя бы одно пересечение. Поэтому для пары
будет хотя бы одно ребро из множества
. Рассматривая далее пары
и соответственно пары
"берем" еще один элемент из
. Так можно продолжать до тех пор, пока все элементы из
, коих не больше пяти, не будут взяты. То есть всего можно добавить 2*5=10 вопросов дополнительно к
. То есть всего не более 12.
Примечание: множество делится на два множества, из каждого идут ребра к вопросам
, но из каждого к ровно одному. Для того, чтобы мы могли всегда изымать элементы из
надо всего лишь без ограничения общности потребовать, чтобы ребро из
шло в наибольшее из множеств, на которое делится
. Тогда наименьшее из этих множеств деления не превосходит 5.