Помогите решить три уравнения. Теряюсь в составлении характеристического уравнения.
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение:
y⁽⁴⁾+5y'''+9y''+7y'+2y=0;
Составляем характеристическое уравнение:
y⁴+5y³+9y²+7y+2=0;
ищем решение методом подбора. Свободный член имеет делители:
1; 2; -1; 2
Проверяем, являются ли какие-нибудь его делители корнями уравнения (ну, понятно, что с положителыми корнями 1 и 2 дела не будет, проверяем -1):
y₁=-1 1-5+9-7+2=0; (!)
Получем уравнение с пониженной на 1 степенью:
(y+1)(a₃y³+a₂y²+a₁y+a₀)=0;
Чтобы найти второй (выделенный) множитель разделим исходный многочлен на известный множитель (y+1) в столбик, как в 5-м классе делили (или в 4-м?):
y⁴+5y³+9y²+7y+2 l y+1
------------
y⁴+y³ l y³+4y²+5y+2
---------------------------
4y³+9y²+7y+2
4y³+4y²
----------------------------
5y²+7y+2
5y²+5y
------------------------------
2y+2
2y+2
--------------------------------
0
Вот мы его нашли!
(y+1)(y³+4y²+5y+2)=0
Продолжаем процесс. Подставляем делитель -2
y³+4y²+5y+2=0
y₂=-1 -1+4-5+2=0 (!)
y³+4y²+5y+2 l y+1
------------
y³+y² l y²+3y+2
-----------------------
3y²+5y+2
3y²+3y
------------------------
2y+2
2y+2
------------------------
0
Получаем вот такой многочлен:
(y+1)(y+1)( y²+3y+2)=0
y²+3y+2=0
y₃₄=0,5(-3±√(3²-4*2); y₃₄=0,5(-3±1)
y₃=-2; y₄= -1;
y₁=-1; y₂=-2; y₃=-1; y₄=-1.
у насчетыре действительных корня, причем три из них -кратные.
Составляем исходную функцию:
у=С₁e⁻²ˣ+C₂e⁻ˣ+C₃xe⁻ˣ+C₄x₂e⁻ˣ
Надо бы проверить, но лень. Хотя в составлении исходной ф-ии я мог и напутать.